ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ಈ ಪ್ರಕಟಣೆಯಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ (SLAE) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಯಾವ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಇವೆ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತವಾದವು ಸೇರಿದಂತೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬೇಕು.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (ಅಥವಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ "SLAU") ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ:

• m ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ;
• n ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
• x₁, X₂,…, X_n - ಅಜ್ಞಾತ;
• a₁₁,₁₂…, ಎ_mn - ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳು;
• b₁, ಬಿ₂,…, ಬಿ_m - ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರು.

ಗುಣಾಂಕ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು (a_ij) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ:

• i ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಖ್ಯೆ;
• j ಗುಣಾಂಕವು ಸೂಚಿಸುವ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

SLAU ಪರಿಹಾರ - ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು c₁, ಸಿ₂,…, ಸಿ_n , ಬದಲಿಗೆ ಇದು ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ x₁, X₂,…, X_n, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗುರುತುಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ.

SLAU ವಿಧಗಳು

1. ಏಕರೂಪದ - ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (b₁ = ಬಿ₂ =… = ಬಿ_m = 0).

   

2. ವೈವಿಧ್ಯಮಯ - ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ.
3. ಸ್ಕ್ವೇರ್ - ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ m = n.

   

4. ನಿರ್ಧರಿತವಾಗಿದೆ - ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.

   

5. ಅತಿಕ್ರಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ.

   

ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, SLAE ಆಗಿರಬಹುದು:

1. ಜಂಟಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹಲವಾರು ಪರಿಹಾರಗಳಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

   

   ಮೇಲಿನ SLAE ಜಂಟಿಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಿದೆ: x = 2, y = 3.

2. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

   

   ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಎಡಭಾಗಗಳು ಅಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತ

SLAE ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

AX = B

• A ಅಜ್ಞಾತಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ:

  

• X - ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾಲಮ್:

  

• B - ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರ ಅಂಕಣ:

  

ಉದಾಹರಣೆ

ನಾವು ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮೇಲಿನ ಫಾರ್ಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅಜ್ಞಾತ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರೊಂದಿಗೆ ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನೀಡಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ದಾಖಲೆ:

ವಿಸ್ತೃತ SLAE ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಇದ್ದರೆ A ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ B, ಲಂಬ ಪಟ್ಟಿಯೊಂದಿಗೆ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದರೆ, ನೀವು SLAE ಯ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

- ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಪದನಾಮ.