ಫೆರ್ಮಟ್ ಅವರ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರಮೇಯ

ಈ ಪ್ರಕಟಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ -  ಫೆರ್ಮಟ್ ಅವರ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರಮೇಯಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಪಿಯರೆ ಡಿ ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ವಸ್ತುವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆ

1. ಆರಂಭಿಕ

If p ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ a ಭಾಗಿಸಲಾಗದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ pನಂತರ a^p-1 - 1 ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ p.

ಇದನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: a^p-1 ≡ 1 (ವಿರುದ್ಧ p).

ಸೂಚನೆ: ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು XNUMX ನಿಂದ ಮಾತ್ರ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದಿಲ್ಲದೆಯೇ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• ಸಂಖ್ಯೆ 15 ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ 5 ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ.

2. ಪರ್ಯಾಯ

If p ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ, a ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ನಂತರ a^p ಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು a ಪ್ರಮಾಣ p.

a^p ≡ ಎ (ವಿರುದ್ಧ p)

ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಇತಿಹಾಸ

ಪಿಯರೆ ಡಿ ಫೆರ್ಮಾಟ್ 1640 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಸ್ವತಃ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಿಲ್ಲ. ನಂತರ, ಇದನ್ನು ಜರ್ಮನಿಯ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ, ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ಇತ್ಯಾದಿ ಗಾಟ್‌ಫ್ರೈಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಮಾಡಿದರು. 1683 ರ ಹೊತ್ತಿಗೆ ಅವರು ಈಗಾಗಲೇ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ಅದು ಎಂದಿಗೂ ಪ್ರಕಟವಾಗಲಿಲ್ಲ. ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸ್ವತಃ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದನು ಎಂಬುದು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ, ಅದು ಮೊದಲೇ ರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.

The first proof of the theorem was published in 1736, and it belongs to the Swiss, German and mathematician and mechanic, Leonhard Euler. Fermat’s Little Theorem is a special case of Euler’s theorem.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆ

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಹುಡುಕಿ 2¹² on 12.

ಪರಿಹಾರ

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

2¹¹ ≡ 2 (ವಿರುದ್ಧ 11).

ಆದ್ದರಿಂದ, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (ವಿರುದ್ಧ 11).

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ 2¹² ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ 12 ಸಮನಾದ ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ 4.