ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು

ಈ ಪ್ರಕಟಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಇದು ಹೇಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು

ವರ್ಗ ಮೂಲ

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ನಕಾರಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಆದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಬಂದಾಗ, ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ನಮ್ಮ ಬಳಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ z = -9. ಫಾರ್ √-9 ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿವೆ:

z₁ =-9 = -3i

z₁ =-9 = 3i

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ z² =-9, ಅದನ್ನು ಮರೆಯುವುದಿಲ್ಲ i² =-1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ ಐ² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3 ಐ)² = 3² ⋅ ಐ² = 9 ⋅ (-1) = -9

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ -3 ಐ и 3i ಬೇರುಗಳಾಗಿವೆ √-9.

ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

√-1 = ±i

√-4 = ± 2i

√-9 = ± 3i

√-16 = ± 4i ಇತ್ಯಾದಿ

n ನ ಶಕ್ತಿಗೆ ಮೂಲ

ನಮಗೆ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ z = ⁿ√w… ಇದು ಹೊಂದಿದೆ n ಬೇರುಗಳು (z₀, ಆಫ್₁, ಆಫ್₂,..., z_n-1), ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು:

|w| ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ w;

φ - ಅವರ ವಾದ

k ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು uXNUMXbuXNUMXb ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ತಾರತಮ್ಯ ಇದ್ದರೆ (D) ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ, ನಂತರ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳು ಇರುವಂತಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ x² – 8x + 20 = 0.

ಪರಿಹಾರ

a = 1, b = -8, c = 20

ಡಿ = ಬಿ² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, ಆದರೆ ನಾವು ಇನ್ನೂ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ತಾರತಮ್ಯದ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

√D =-16 = ± 4i

ಈಗ ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು:

x_1,2 = (-ಬಿ ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣ x² – 8x + 20 = 0 ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 - 2i