SLAE ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ

ಈ ಪ್ರಕಟಣೆಯಲ್ಲಿ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ ಏನು, ಅದು ಏಕೆ ಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದರ ತತ್ವ ಏನು ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ವಿವರಣೆ

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಕಾರ್ಲ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಗೌಸ್ (1777-1885) ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ.

ಆದರೆ ಮೊದಲು, SLAU ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

• ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ;
• ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ;
• ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರಯೋಜನಗಳು

ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ SLAE ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಉತ್ತಮ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಚೌಕವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ತತ್ವ

ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

1. ನೇರ - ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವರ್ಧಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಾಲುಗಳ ಮೇಲಿನ ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಮೇಲಿನ ತ್ರಿಕೋನ (ಹೆಜ್ಜೆ) ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಂಶಗಳು ಮಾತ್ರ ಇರಬೇಕು.
2. ಮತ್ತೆ - ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯದ ಮೇಲಿರುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಹ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ (ಕೆಳಗಿನ ತ್ರಿಕೋನ ನೋಟ).

SLAE ಪರಿಹಾರ ಉದಾಹರಣೆ

ಕೆಳಗಿನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸೋಣ.

ಪರಿಹಾರ

1. ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು, ನಾವು SLAE ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

2. ಈಗ ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವು ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು. ಮುಂದಿನ ಕ್ರಮಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವದನ್ನು ನಾವು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಅವುಗಳ ಮೊದಲ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇರಿಸುತ್ತೇವೆ.

3. ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ಮೊದಲ ಎರಡು ಬಾರಿ ಕಳೆಯಿರಿ, ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯಿಂದ - ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಮೂರು ಪಟ್ಟು.

4. ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ.

5. ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಿಂದ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ, ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು -10 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

6. ಮೊದಲ ಹಂತವು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ. ಈಗ ನಾವು ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯಕ್ಕಿಂತ ಮೇಲಿನ ಶೂನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಿಂದ 7 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮೂರನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದನ್ನು 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ.

7. ಅಂತಿಮ ವಿಸ್ತರಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

8. ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ:

ಉತ್ತರ: ರೂಟ್ SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.